Родился в городе Пугачеве Саратовской губернии в семье врача. После окончания военного факультета II Московского медицинского института, он служил в рядах Советской Армии: на Карельском фронте старшим врачом истребительного авиаполка, затем — командиром санитарной роты. Он получил тяжелое осколочное ранение, которое привело к ампутации голени, и, в 1943г. стал работать клиническим ординатором в госпитале.

Имя Аркадия Ивановича известно в нашей стране и за рубежом как крупного ученого-травматолога-ортопеда и вертебролога. В начале 50-х годов он первый в стране занялся такой проблемой, как патология позвоночника, и создал первую в ЦИТО и в стране клинику вертебральной хирургии.  

В 1954 г., будучи аспирантом ЦИТО, А.И. Казьмин защитил кандидатскую диссертацию, посвященную лечению переломов верхней трети плеча. Свою трудовую деятельность ученый сочетал с преподаванием на кафедре травматологии и ортопедии ЦИУ. С 1963 г. А.И. Казьмин — заместитель директора ЦИТО по научной части, он автор более 75 печатных работ. В 1965 г. Аркадий Иванович Казьмин успешно защитил докторскую диссертацию, посвященную оперативному лечению тяжелых форм сколиоза. В 1968 г. ему присвоено звание профессора. а в 1970г. – заслуженного деятеля науки РСФСР. 

Имея общехирургическую подготовку, полученную во время работы в клинике общей госпитальной хирургии и прекрасную хирургическую технику, А.И. Казьмин с успехом решал все сложные проблемы оперативного лечения больных со сколиозом, остеохондрозом и другими заболеваниями позвоночника. По его инициативе на базе Центрального научно-исследовательского института травматологии и ортопедии было открыто отделение хирургии позвоночника, которое он возглавлял до 1988 г., а под его руководством были защищены 11 кандидатских и 9 докторских диссертаций.

Аркадий Иванович много сделал как член президиума Всесоюзного научного общества травматологов-ортопедов, член редколлегии журнала «Ортопедия, травматология и протезирование», член международного общества хирургической ортопедии и травматологии. Правительство высоко оценило заслуги Аркадия Ивановича, наградив орденами «Отечественной войны» | и || степени, «Трудового Красного Знамени», «Знак почета» и многочисленными медалями.

Многие из предложенных А.И. Казьминым принципов и подходов к лечению патологии позвоночника являются по своей сути актуальными и сегодня. Вмешательства на телах и дисках при сколиозе, дископункционный метод лечения остеохондроза в комбинации с современными технологическими возможностями успешно применяются и в настоящее время. А основанное ученым отделение успешно продолжает заниматься изучением этиологии и патогенеза, разработкой и внедрением оптимальных методов лечения практически всего спектра заболеваний позвоночника.